„Zeit der Variablen. Mathematische Analyse in einer verrückten Welt“(Verlag „Alpina Sachbuch“) ist ein neues Buch von Ben Orlin, das von Victoria Krasnyanskaya ins Russische übersetzt wurde. Diesmal spricht der Autor des populären Mathematik-Blogs und des Buches "Mathematik mit verrückten Bildern" über verschiedene Aspekte der Infinitesimalrechnung und nutzt sie auch, um über Liebe, Risiko, Zeit und die Volatilität von allem zu sprechen. N + 1 lädt seine Leser ein, eine Passage zu lesen, die sich auf die Natur der mathematischen Analyse konzentriert, die Orlin "automatisches Denken" nennt.
Lass uns zählen
Sie haben vielleicht bemerkt, dass es in der Mathematik viele Symbole gibt - ein vielfältiges Alphabet aus X, Sieben und ■. Idealerweise sollte der Mathematikstudent wissen, was diese Symbole bedeuten: Ist x "Raum" oder "Zeit", ob y "Jahre" oder "Kartoffeln" bedeutet, ob zzz von z3 oder "Schnarchen" spricht. Für jedes Vorzeichen gibt es einen Wert, aber nicht jeder Wert hat ein Vorzeichen.
Leider ist „perfekt“nicht das beste Adjektiv für das Klassenzimmer. Höchstwahrscheinlich werden Sie feststellen, dass die Schüler sich Notizen auf den Seiten machen und alles ohne Verständnis vollstopfen, ohne auf das zurückzukommen, was sie durchgemacht haben, bis der Prozess zur Automatisierung gebracht wird. Verbinde die x, entferne die Sieben und füge im Zweifelsfall ■ hinzu. Es ist alles so, als würde man Buchhaltung in einer Sprache führen, die man nicht spricht. Egal warum, die Frage ist nur, wie: Wie bekomme ich das raus? Hier kann man Kafkas „Prozess“zitieren: „Mir scheint, dass hier sicher etwas Wissenschaftliches ist. Ich verstehe zwar nicht viel, aber wahrscheinlich sollte es hier nicht verstanden werden." Gleichzeitig beschrieb Kafka eine totalitäre Bürokratie und nicht meinen Mathematikunterricht, sondern, wie die Volksweisheit sagt, "was ist auf der Stirn, was ist auf der Stirn".
Inwiefern ist die konkrete Bedeutung der reinen Abstraktion unterlegen? Sei mutig und ich zeige dir das.
Beginnen wir mit der freundlichen Seite eines Rechtecks mit den Seiten A und B. Seine Fläche ist das Produkt dieser AB-Seiten.
Stellen wir uns nun vor, dass sich ihre Parameter im Laufe der Zeit ändern, wie eine Stadt, die sich Jahr für Jahr nach Norden und Osten ausdehnt. Die Breite (A) wächst mit der Geschwindigkeit A´ und die Länge (B) - mit der Geschwindigkeit B´.
Frage: Wie schnell nimmt die Fläche AB zu?
Dies ist eine mathematische Analyse, das heißt, wir denken über einen einzigen Moment nach. In diesem volatilen Moment nimmt die Breite um einen infinitesimalen Betrag zu (den wir dA oder A´ nennen können) und die Länge tut das gleiche (bzw. ergibt dB oder B´).
Wir können diese Wachstumszone in drei Teile unterteilen: (1) einen langen, dünnen Streifen rechts, (2) einen weiteren oben und (3) ein winziges Quadrat. Dieser berührende dritte Teil kann aus den in Kapitel X beschriebenen Gründen vernachlässigt werden; wenn jeder dünne Streifen die Dicke eines menschlichen Haares hat, dann hat das Quadrat die gleiche Fläche wie eine einzelne Zelle. Wir können es aus unseren Berechnungen ausschließen.
Lassen Sie uns nun bestimmen, wie groß die beiden verbleibenden Wachstumszonen sind. Bei einer Zeichnung ist es ganz einfach: Das eine ist das Produkt von A´ mal B und das andere ist B´ mal A.
Somit ist die Größe der Wachstumszone die Summe der Flächen der beiden Streifen.
Ableitung AB = A´B + B´A
Läuft bisher alles gut? Nun, es ist Zeit, alles zu vergessen. Vergessen Sie das Rechteck und die Wachstumsstreifen. Vergessen Sie die begleitenden Faktoren, die geometrische Bedeutung und die logische Kette. Vergessen Sie, dass wir uns einmal begegnet sind, vergessen Sie, dass dieses Rechteck überhaupt existiert hat. Auf der verfärbten Oberfläche Ihres Gedächtnisses gibt es nur eine letzte Zeichenzeile: (AB) ´ = A´B + B´A.
Wenden wir es nun nach dem Zufallsprinzip auf tausend verschiedene Szenarien an. Anwenden auf x sin (x), auf ex cos (x) und (x + 7) 10 (3x - 1) 9. Bewerben Sie sich auf Physik, Wirtschaft, Biologie und, während Merkur auf seinem Höhepunkt ist, auf Astrologie. Wir können es mechanisch und sinnlos anwenden, wie ein Roboter, der seine automatischen Hausaufgaben macht.
Diese sinnlose Manipulation, dieses „Umwerfen von Symbolen“ist kein Fehler in der mathematischen Analyse. Dies ist seine Eigenschaft.
Matan ist ein System, eine bürokratische Bildung, ein formalisiertes Regelwerk. Schauen Sie sich den Ursprung des Begriffs an: Das englische Wort Calculus kommt vom lateinischen "Kiesel" und bezeichnet die Steine, mit denen auf dem Abakus gezählt wurde. Der Abakus ist ein Mittel zum Rechnen, ein Werkzeug zur Mechanisierung des Denkens und damit vergleichbar mit der mathematischen Analyse.
Wie Vladimir Arnold erklärt, habe Gottfried Leibniz versucht, die mathematische Analysis "in einer Form zu entwickeln, die speziell für den Unterricht von Menschen geeignet ist, die sie überhaupt nicht verstehen".
Dieser Satz trifft ins Schwarze. Arnold hat vollkommen recht. Zu Beginn des 17. Jahrhunderts. Das Werfen von Symbolen war nicht in Mode. "Symbole sind arm und hässlich, aber sie sind notwendige Stützen für die Illustration", schrieb der Philosoph Thomas Hobbes, "sie sollten in der Öffentlichkeit nicht mehr erscheinen als die schändlichen notwendigen Taten, die Sie in Ihren Räumen tun." Und um nicht zu sagen, dass Hobbes mit seinem Murren allein war. Damals bevorzugte die mathematische Tradition die Genauigkeit der Geometrie gegenüber unzuverlässigen algebraischen Schlussfolgerungen.
Aber es gibt einen Fehler in Hobbes' Ansatz, auf den jeder Student gerne hinweisen wird: Man muss alles verstehen. Es ist ein ekelhaftes, dürftiges und grausames Geschäft und sehr langsam.
Viele Mathematiker haben vor Newton und Leibniz mit Ableitungen und Integralen gearbeitet. Aber sie lösten ihre Probleme mit klugen "Einmal-Use"-Methoden, also situationsgerecht. Die Idee hinter "Calculus" - ein von Leibniz geprägter Begriff - bestand darin, eine einzige Struktur für die Berechnung zu schaffen. Jahrhunderte später wird der Mathematiker Karl Gauß über solche Methoden schreiben: "Sie können nicht leisten, was ohne sie nicht möglich gewesen wäre." In schwierigen Zeiten habe ich dasselbe über Surebets gesagt. Aber genauso wie ich beim Abendessen weiterhin Besteck benutzte, erkannte Gauß den hohen Wert des Kalküls: „Wer es umfassend beherrscht, kann ohne unbewusste Geistesblitze, die niemand kontrollieren kann, das entsprechende Problem lösen, selbst wenn er es tut.“. mechanisch …"
Wenn meine Schüler Regeln auswendig lernen, verraten sie nicht den Geist des Kalküls. Sie akzeptieren es. Selbst wenn sie zur falschen Formel (AB) ´ = A´B´ – einer verführerischen Zeichenkette ohne abstrakte Bedeutung – zurückkehren, wiederholen sie einfach den Fehler, den Leibniz selbst in seinen frühen Aufzeichnungen gemacht hat.
Matan ist von seiner Konstruktion her automatisches Denken.
Bis 1680 hatte Leibniz das Infinitesimale gemeistert – eines der schwierigsten und rauesten philosophischen Konzepte. Warum hat er nicht noch mehr Konzepte hinzugefügt? Warum nicht alle Konzepte? Der Wissenschaftler entwarf eine Sprache, deren Wortschatz alle möglichen Ideen umfasst, und die Grammatik sollte die Logik selbst verkörpern – das Esperanto des Kosmos. Ein universelles Alphabet (lat. charakteristischa universalis) würde alle Beobachtungen als mechanisch und regelgebunden interpretieren, wie in der Arithmetik. "Vernunft", schrieb Leibniz, "wird durch das Bewegen von Zahlen und Zeichen erzeugt", also durch das Jonglieren mit Symbolen. „Wenn jemand an meinen Ergebnissen zweifelt“, fuhr er fort, „muß ich ihm sagen:,Calculemus, zählen wir, Sir, und so werden wir das Problem bald mit Feder und Tinte lösen können.'
In Leibniz' Träumen war alles mathematische Analyse.
Leider ist dies tatsächlich nicht der Fall. Leibniz verbrachte die letzten Jahrzehnte seines Lebens in der Kleinstadt Hannover in Deutschland, sein böser Arbeitgeber zwang den Wissenschaftler, seine genealogischen Forschungen abzuschließen. Moral für Schüler: Reichen Sie Ihre Aufsätze rechtzeitig ein.
Noch schlimmer wurde es mit dem Streit um die Priorität der Entdeckung der mathematischen Analysis, der zwischen Leibniz und Newton entbrannte. Leibniz war der erste, der seine Ergebnisse veröffentlichte, aber Newton hatte schon früher eine ähnliche Idee gehabt, und die öffentliche Meinung war auf seiner Seite. Die wissenschaftliche Gemeinschaft erkannte Leibniz als intellektuellen Dieb an. Wie der Mathematiker Stephen Wolfram sagte, war diese Teilung der Infinitesimalrechnung ein Wendepunkt:
Mir wurde klar, dass, als Newton den Informationskrieg gegen Leibniz gewann, nicht nur die Anerkennung von Verdiensten auf dem Spiel stand; es war auch eine Denkweise über die Wissenschaft … Leibniz hatte einen breiteren und philosophischeren Standpunkt, er sah die mathematische Analyse nicht nur als Werkzeug an sich, sondern als Beispiel, das inspirieren sollte … andere Arten von universellen Werkzeugen.
Heute sehen wir, dass Leibniz in die Zukunft strebte. Wir sehen dies nicht nur im universellen Alphabet, sondern auch in seinen Schriften, in denen er versuchte, schwierige Rechtsfälle zu systematisieren; in seiner beispiellosen Arbeit an einem binären System - Mathematik basierend auf Nullen und Einsen - und in einer Maschine, die er jahrzehntelang zu bauen versuchte - einer der ersten mechanischen Rechner der Geschichte, der vier Schritte ausführte.
Leibniz strebte das Computerzeitalter Jahrhunderte vor seiner Ankunft an.
