In dem Buch Diese seltsame Mathematik. Am Rande der Unendlichkeit und darüber hinaus" (Corpus Publishing House), ins Russische übersetzt von Alexei Glushchenko, sprechen der Astronom David Darling und die Mathematikerin Agnijo Banerjee darüber, wie mathematische Studien von Primzahlen, Unendlichkeit und Chaos mit den Problemen der Realität zu tun haben Welt - und darüber sprechen, wo wir in naher Zukunft mit neuen Entdeckungen rechnen sollten. N + 1 lädt seine Leser ein, eine Passage über die Erforschung der Unendlichkeit und die Ergebnisse, die Wissenschaftler auf diesem Gebiet erzielt haben, zu lesen.
Von hier aus kommst du nicht hin
Das Unendliche in der Mathematik ist immer unkontrollierbar
bis Sie anfangen, richtig damit umzugehen.
James Newman
Ich kann nicht anders - gegen meinen Willen
Unendlichkeit quält mich.
Alfred de Musset
Ist der Platz begrenzt? Hatte die Zeit einen Anfang und wird sie jemals enden? Gibt es die größte Zahl? Schon als Kind stellen wir solche Fragen. Früher oder später entwickelt jeder Mensch ein Interesse an der Unendlichkeit. Aber Unendlichkeit ist kein vages und vages Konzept, sondern ein Gegenstand rigoroser Forschung. Und die Ergebnisse dieser Studien sind manchmal so paradox, dass man sie kaum glauben kann.
Das Grenzenlose ist Gegenstand der Debatte unter Philosophen, Theologen und Kunstkritikern. Der amerikanische Jazzgitarrist und Komponist Pat Matini sagte einmal: "Bei Musikern suche ich nach einem Gefühl der Unendlichkeit." Der englische Dichter und Künstler William Blake glaubte, dass unsere Empfindungen uns daran hindern, die wahre Natur der Dinge zu erkennen, und dass "wenn die Türen der Wahrnehmung gereinigt werden, wird alles, was existiert, dem Menschen so erscheinen, wie es ist - unendlich." Der französische Schriftsteller Gustave Flaubert warnte vor der Gefahr, die diejenigen erwartet, die zu viel darüber nachdenken: "Je näher man der Unendlichkeit kommt, desto mehr versinkt man in Entsetzen."
Auch Wissenschaftler müssen sich ab und zu mit der Unendlichkeit auseinandersetzen, und diese Begegnungen sind nicht immer angenehm. In den 1930er Jahren entdeckten theoretische Physiker, die die Eigenschaften von Elementarteilchen untersuchten, dass sich die bei den Berechnungen erhaltenen Werte ins Unendliche aufblasen oder mit anderen Worten dazu neigen. Dies geschah beispielsweise, wenn der Elektronenradius gleich Null angenommen wurde, wie sich aus den Ergebnissen von Experimenten zur Elektron-Elektron-Streuung ergab. Berechnungen ergaben, dass die Energie des das Teilchen umgebenden elektrischen Feldes in diesem Fall unendlich groß ist, was absurd ist. Die Verwirrung wurde schließlich durch einen mathematischen Trick namens Renormierung vermieden. Dies ist heute ein Standardtrick der Quantenmechanik, obwohl einige Physiker immer noch durch seine Willkürlichkeit verwirrt sind.
Sehen wir uns nun an, was am anderen Ende der physikalischen Skala passiert. Kosmologen interessiert, ob die Größe des Universums begrenzt ist oder sich unendlich in alle Richtungen ausdehnt. Das wissen wir heute einfach nicht. Der Teil des Universums, den wir (zumindest im Prinzip) sehen können - das sogenannte beobachtbare Universum - hat einen Durchmesser von etwa 92 Milliarden Lichtjahren, wobei ein Lichtjahr die Entfernung ist, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Das beobachtbare Universum ist der Teil des gesamten Universums, aus dem seit dem Urknall Licht auf die Erde gelangt ist. Außerhalb davon kann es durchaus einen viel größeren, möglicherweise unendlichen Raum geben, den wir einfach nicht erreichen können.
Seit Einstein die Allgemeine Relativitätstheorie entwickelt hat, wissen wir, dass der Raum, in dem wir leben, gekrümmt sein kann, so wie zum Beispiel die Oberfläche einer Kugel gekrümmt ist – der einzige Unterschied besteht darin, dass unser Raum drei Dimensionen hat und nicht zwei. Genauer gesagt, die Raumzeit (und sie sind untrennbar miteinander verbunden) gehorcht nicht immer den uns aus der Schule vertrauten Regeln der Geometrie. Wir wissen mit Sicherheit, dass die Raumzeit im lokalen Maßstab gekrümmt ist: Um alle massereichen Objekte wie die Sonne oder die Erde krümmt sie sich wie eine Gummiplatte, wenn man sie belastet. Aber ob das gesamte Universum gekrümmt (nichteuklidisch) oder flach ist, wissen wir noch nicht. Kosmologen sind daran sehr interessiert, da sein Schicksal letztendlich von der Form des Universums abhängt.
Wenn das Universum global gekrümmt ist, kann es eine geschlossene Form haben - wie eine Kugel oder ein Donut. Dann wird seine Größe begrenzt, obwohl es immer noch nicht funktioniert, den Meilenstein oder die Kante zu erreichen, egal wie sehr Sie es versuchen. Eine andere Möglichkeit ist das Universum in Form einer Art Sattel, das unendlich weit fortgeführt wird. In diesem Fall kann es entweder "offen" sein und sich unendlich erstrecken oder noch eine endliche Größe haben. Außerdem kann das Universum als Ganzes flach sein – und wieder entweder endlich oder unendlich. Unabhängig davon, welche der Optionen sich als wahr herausstellt, wenn das Universum am Anfang eine endliche Größe hatte, dann wird es so bleiben (obwohl es weiter wachsen kann), und wenn es unendlich ist, war es immer so.
Die Vorstellung, dass das Universum schon immer unendlich war, widerspricht auf den ersten Blick der allgemein akzeptierten Theorie des Urknalls, nach der die Ausdehnung von Materie und Energie aus einem Bereich erfolgte, der zunächst viel kleiner als ein Atom war. Tatsächlich gibt es jedoch keinen Widerspruch: Diese zunächst winzige Region verkörperte nur den Bruchteil einer Sekunde nach dem Urknall nur die Größe des beobachtbaren Universums (das durch die Entfernung bestimmt wird, die das Licht zurücklegen konnte). Das Universum als Ganzes hätte von Anfang an unendlich sein können, obwohl es unmöglich gewesen wäre, es zu sehen. Dass die andere Option - sowohl das unendliche in Raum und Zeit als auch das endliche Universum - mit dem Verstand nicht so leicht zu erfassen ist, aber es wahrscheinlich noch schwieriger ist, sich ein endliches Universum vorzustellen. Wie der Philosoph Thomas Paine schrieb: „Es ist unbeschreiblich schwer zu verstehen, dass der Raum kein Ende hat, aber noch schwieriger ist es, seine Endlichkeit zu verstehen. Über den Kräften des Menschen, das ewige Ausmaß dessen zu begreifen, was wir Zeit nennen, aber es ist noch unmöglicher, sich eine Zeit vorzustellen, in der es keine Zeit geben wird."
Die bisher von Astronomen gesammelten Daten aus dem Studium entfernter Galaxien legen nahe, dass das Universum flach und unendlich ist. Was genau das Wort "unendlich" in Bezug auf Raum und Zeit im realen Universum bedeutet, ist jedoch nicht ganz klar. Wir werden niemals durch direkte Messungen beweisen können, dass Raum und Zeit kein Ende haben, denn wir werden niemals Informationen aus unendlich weitem Abstand empfangen können. Eine weitere Schwierigkeit ist die Natur von Raum und Zeit. Physiker glauben, dass es eine minimal mögliche Entfernung und eine minimal mögliche Zeit gibt, die als Planck-Länge bzw. Planck-Zeit bekannt ist. Mit anderen Worten, Raum und Zeit sind nicht kontinuierlich, sondern haben eine quantisierte, granulare Natur. Die Planck-Länge ist nur winzig, nur 1,6 × 10–35 Meter oder hundert Vintillionen der Größe eines Protons. Und die Planck-Zeit, d. h. das Zeitintervall, in dem Licht eine Entfernung gleich der Planck-Länge zurücklegt, ist vernachlässigbar - weniger als 10–43 Sekunden. Aufgrund dieser Diskretion der Raumzeit muss man jedoch sehr vorsichtig sein, wenn man im Kontext des physikalischen Universums von Unendlichkeit spricht. Wie Mathematiker entdeckten, sind nicht alle Unendlichkeiten gleich.
Die griechischen und indischen Philosophen der Antike waren die ersten, die vor zweitausend Jahren ihre Gedanken über die Unendlichkeit niedergeschrieben haben. Anaximander im VI Jahrhundert v. Chr. betrachtete die Quelle des Ursprungs aller Dinge "apeiron" ("Unendlichkeit"). Ein Jahrhundert später betrachtete sein Landsmann Zenon von Elea (das heutige Lukanien in Süditalien) erstmals die Unendlichkeit aus mathematischer Sicht.
Zeno hat als erster die Gefahr gespürt, mit der die Unendlichkeit verbunden ist. Die von ihm beschriebenen Paradoxien, bei denen Achilles am berühmtesten in einem Rennen mit einer Schildkröte antritt, sorgten für Besorgnis. Zuversichtlich seines Sieges verschafft unser mythischer Held der Schildkröte einen Vorsprung. Aber wie, fragt Zeno, kann Achilles ein gemächliches Reptil überholen? Schließlich kriecht sie vorwärts, bis er den Ort erreicht, an dem die Schildkröte ihre Reise begonnen hat. Bis Achilles die neue Distanz zwischen ihnen überquert hat, wird die Schildkröte noch weiter vorgerückt sein. Und so weiter, bis ins Unendliche. Egal wie weit Achilles zu der Stelle rennt, an der die Schildkröte gerade war, sie wird jedes Mal ein Stück weiter gehen können. Offensichtlich gibt es eine gewisse Diskrepanz zwischen der Vorstellung von Unendlichkeit und der Realität, wie wir uns manchmal vorstellen. Zeno selbst war von diesem und anderen Paradoxien so verlegen und verwirrt, dass er nicht nur beschloss, nicht mehr an die Unendlichkeit zu denken, sondern auch zu dem Schluss kam, dass Bewegung unmöglich ist!
Einen ähnlichen Schock erlebten Pythagoras und seine Anhänger, überzeugt davon, dass sich alles im Universum letztendlich mit ganzen Zahlen beschreiben lässt. Schließlich sind auch gewöhnliche Brüche nur eine ganze Zahl, die durch eine andere geteilt wird. Aber die Quadratwurzel aus 2 - die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit je einem Bein - passte nicht in dieses harmonische kosmische Schema. Es war eine "irrationale" Zahl, die sich nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausdrücken ließ. Versucht man sie als Dezimalbruch darzustellen, so wächst die Zahl der Nachkommastellen ins Unendliche und es entsteht keine sich klar wiederholende Zahlengruppe. Die Pythagoräer kannten all diese Feinheiten nicht, sie machten sich nur Sorgen, dass sich ein abscheuliches Monster in Form einer Quadratwurzel von 2 in ihre perfekte Welt eingeschlichen hatte, und verheimlichten daher sorgfältig seine Existenz.
Diese beiden Beispiele veranschaulichen das grundlegende Problem, das mit dem Verständnis der Unendlichkeit verbunden ist. Unsere Vorstellungskraft verkraftet leicht das, was noch nicht am Ende ist: Wir können uns immer vorstellen, wie jeder Abstand um einen weiteren Schritt vergrößert wird, ein anderer zu beliebig vielen Objekten hinzugefügt wird. Aber Unendlichkeit in einer verallgemeinerten Bedeutung, als Begriff, passt nicht in den Kopf. Mathematiker haben lange damit gekämpft, weil sie es in ihrem Fach gewohnt sind, mit exakten Größen und sorgfältig definierten Begriffen umzugehen. Und wie kann man mit Objekten arbeiten, die definitiv existieren, aber niemals enden - mit einer Zahl wie 2 (beginnend mit 1, 41421356237 … und immer weiter fortfahrend ohne scheinbare Ordnung und vorhersehbare Wiederholungen) oder eine Kurve, die gegen a gedrückt wird gerade alles näher und näher - und gleichzeitig die Begegnung mit der Unendlichkeit vermeiden? Aristoteles schlug eine mögliche Lösung vor und argumentierte, dass es zwei Arten von Unendlichkeit gibt. Die „tatsächliche“(oder „vollendete“) Unendlichkeit, die nach Aristoteles in der Realität nicht existiert, ist eine zu einem bestimmten Zeitpunkt (mathematisch oder physikalisch) tatsächlich erreichte Unendlichkeit. Die „potenzielle“Unendlichkeit, die Aristoteles offenbar in der Natur manifestiert glaubte – etwa im endlosen Wechsel der Jahreszeiten oder der grenzenlosen Teilbarkeit eines Goldbarrens (er wusste nichts von Atomen) – ist eine Unendlichkeit, die grenzenlos verläuft Zeit. Diese grundlegende Unterscheidung zwischen tatsächlicher und potentieller Unendlichkeit existiert in der Mathematik seit über zweitausend Jahren.
1831 sprach Karl Gauss selbst über den „Horror der tatsächlichen Unendlichkeit“wie folgt:
… Ich protestiere gegen die Verwendung einer unendlichen Menge als vollständige, die in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine façon de parler, während es eigentlich eine Frage der Grenzen ist, an die sich gewisse Relationen beliebig nahen, während andere ohne Einschränkung wachsen dürfen.
* Redewendung (fr.).
Die Mathematiker beschränkten sich auf das Studium der potentiellen Unendlichkeit und konnten so wichtige Konzepte wie unendliche Reihen, Grenzen und infinitesimale Größen entwickeln, wodurch sie zur mathematischen Analyse gelangten, aber die Unendlichkeit nicht als unabhängiges mathematisches Objekt anerkennen. Und doch waren sie auch im Mittelalter mit Paradoxien und unlösbaren Problemen konfrontiert, die dazu führten, dass die tatsächliche Unendlichkeit nicht einfach von der Hand zu weisen war. Diese unlösbaren Probleme entstanden aus dem Prinzip, dass alle Elemente einer Objektmenge ein Paar in einer anderen Objektmenge gleicher Größe finden können. Aber als sie versuchten, dieses Prinzip auf unendlich große Mengen anzuwenden, widersprach es offen der Idee des gesunden Menschenverstands, die zuerst von Euklid formuliert wurde: dass das Ganze immer größer ist als irgendein Teil davon. Zum Beispiel schien es durchaus möglich, Paare aus allen positiven ganzen Zahlen zu bilden und nur aus solchen, die gerade sind: eins zu zwei, zwei zu vier, drei zu sechs usw. Galileo, der dieses Problem untersuchte, war der erste, der einen aufgeklärteren Ansatz zur Unendlichkeit vorschlug, indem er feststellte: "Die Unendlichkeit muss einer anderen Arithmetik gehorchen als die endlichen Zahlen."
Das Konzept der potentiellen Unendlichkeit lässt unsere Wachsamkeit einschlafen und zwingt uns zu glauben, dass Sie sich der Unendlichkeit nähern können – Sie müssen nur weiter gehen oder etwas länger gehen. Und das ist nicht weit von dem weit verbreiteten Mythos entfernt, dass Unendlichkeit nur so etwas wie eine sehr große Zahl ist und eine Billion oder, sagen wir, eine Billion Billion Billion der Unendlichkeit irgendwie näher ist als, sagen wir, zehn oder tausend. Tatsächlich ist dies nicht der Fall. Egal, wie viel Sie sich entlang der numerischen Achse bewegen, egal wie viele Zählungen Sie haben, Sie können der Unendlichkeit kein Jota näher kommen. Die Zahl 1 ist so weit von der Unendlichkeit entfernt (oder so nahe daran) wie jede andere endliche Zahl, egal wie groß wir auch genug Fantasie hatten, um sie zu benennen. Darüber hinaus gibt es in jeder Zahl, egal wie klein sie ist, bereits Unendlichkeit, so dass es ein völlig nutzloses Ereignis ist, immer mehr 2 Zahlen in 2 Suchen zu verwenden. Unterm Strich existiert Unendlichkeit beispielsweise sogar im Intervall zwischen 0 und 1, da sie unendlich viele Brüche enthält: ½, ⅓, ¼ und so weiter. Unendlichkeit hat nichts mit riesigen endlichen Zahlen zu tun. Um damit zu arbeiten, müssen wir aus ihrer Gefangenschaft ausbrechen und aufhören, sie als Requisiten für unser Verständnis zu verwenden.
