Das Leben spielt mit einem Menschen manchmal einen grausamen Scherz: Pläne scheitern unter dem Druck von Umständen und Chancen, die von uns unabhängig zu sein scheinen. In solchen Fällen sagen sie, dass alles nach dem "Gesetz der Gemeinheit" geschieht. In dem Buch Wahrscheinlichkeiten und Probleme. The Mathematics of Everyday Life“(Verlag „Mann, Ivanov und Ferber“), Kandidat der Physikalischen und Mathematischen Wissenschaften, Popularisierer der Wissenschaft Sergei Samoilenko sucht nach einem rationalen Korn und liefert eine Rechtfertigung für lästige Regelmäßigkeiten. Der Autor greift auf Wahrscheinlichkeitstheorie sowie verwandte Abschnitte zurück: Maßtheorie, Markov-Ketten, stochastische Prozesse, Warteschlangentheorie, dynamisches Chaos und andere. N + 1 lädt seine Leser ein, eine Passage zu lesen, in der der Autor mithilfe der Poisson-Verteilung ein Leben voller Probleme synthetisiert, Muster im Einsetzen von schlechten und guten Ereignissen entdeckt - und zeigt, wie sich dies auf die Stimmung eines Menschen auswirkt.
Das Bösewicht-Schicksal synthetisieren
Der Beginn von Ereignissen, die in keiner Weise miteinander verbunden sind und zufällig zeitlich eintreten, wird mit dem bekannten Poisson-Flow beschrieben. Es entspricht vielen zufälligen Ereignissen, von Erdbeben bis hin zu Käufern, die ein Geschäft betreten.
Angenommen, solche natürlichen Bedingungen sind erfüllt.
- Bei zwei disjunkten Zeitintervallen [t 1, t 2] und [t 3, t 4] hängt die Anzahl der Ereignisse im ersten Segment nicht von der Anzahl der Ereignisse im zweiten ab (keine Nachwirkung).
- Die Anzahl der Ereignisse, die in jedem Zeitintervall aufgetreten sind, hängt nur von der Länge des Segments ab, nicht jedoch von seiner Position (Stationarität).
- Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreten, ist vernachlässigbar (Gewöhnlichkeit). Dann kann gezeigt werden, dass die Anzahl der Ereignisse, die auf ein Segment der Länge t fallen, der Poisson-Verteilung gehorcht. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit Pm, dass auf diesem Segment m Ereignisse auftreten, wird wie folgt bestimmt:
Die Zahl λ heißt Intensität oder Flussdichte und hat die Bedeutung der „durchschnittlichen“Anzahl von Beobachtungen. Bei der Messung der Zeit in Tagen entspricht der Wert des Parameters λ = 1/7 im Durchschnitt einmal pro Woche einer Kette von zufälligen Ereignissen. Dies bedeutet nicht, dass Veranstaltungen strikt einmal pro Woche stattfinden. Die Abfolge der Ereignisse hat keine bestimmte Häufigkeit. Dies ist die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen: Da ein Jahr 52 Wochen hat, sollten ungefähr 52 Ereignisse in einem Jahr auftreten (im Durchschnitt über viele Jahre), aber sie werden ungleichmäßig über das Jahr verteilt sein. Abbildung 6.1 zeigt 52 zufällig verteilte Daten in einem Jahr, die als Zeitpunkte des Auftretens von Poisson-Ereignissen angesehen werden können.
Wie Sie sehen, kommt bei diesen Ereignissen keine Periodizität in Frage: Wenn sie es wünschen, werden sie geschehen. Aber auch bei dieser Störung können uns Statistiken bestimmte Muster aufzeigen. Beispielsweise ist die Verteilung der Periodendauer zwischen den in der vorherigen Abbildung gezeigten Ereignissen überhaupt nicht einheitlich (Abb. 6.2).
Die Zeitintervalle zwischen benachbarten Poisson-Ereignissen haben eine exponentielle Verteilung mit der Dichte λe – λt (in unserem Fall durch die durchgezogene Linie in der Abbildung dargestellt). Diese Verteilung hat ein Maximum (Modus) bei Null und der Durchschnittswert beträgt 1 / λ, in unserem Fall 7 Tage. Außerdem beträgt die Standardabweichung σ ebenfalls 7 Tage, da die Varianz der Exponentialverteilung σ2 = 1 / λ2 beträgt. Wie Sie sehen können, garantieren diese Eigenschaften keineswegs, dass zwischen den Veranstaltungen eine Woche liegt. Im Durchschnitt ja, aber meistens weniger; außerdem kann es zu längeren Intervallen ohne Ereignisse kommen. Schließlich zeigt der Median, dass die Hälfte aller Intervalle nicht länger als 5 Tage dauern wird. Intensität und Frequenz sind überhaupt nicht dasselbe; Dies ist ein sehr wichtiger Punkt, auf den wir in diesem Kapitel zurückkommen werden.
Nehmen wir der Fairness halber an, dass gute und schlechte Ereignisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten, aber helle und signifikante (sowohl gute als auch schlechte) Ereignisse sind viel seltener als kleine und unbedeutende. Sei es ein „gewöhnliches“Leben, in dem die emotionale Färbung der Ereignisse einer normalen (Gaußschen) Verteilung gehorcht. So kann ein Jahr des synthetischen Schicksals in Form einer Reihe zufälliger, absolut unabhängiger Lebenswechsel aussehen (Abb. 6.3).
Das Vorzeichen der Gipfel spiegelt die emotionale Färbung wider, und ihre Höhe entspricht der Bedeutung des Ereignisses bzw. der damit verbundenen Tiefe der Erlebnisse. Solange keine Streifen beobachtet werden, gibt es etwas Rauschen. Jedes Ereignis geht spurlos vorüber und hinterlässt nichts in der Erinnerung oder in der Stimmung. Das passiert nicht, deshalb statten wir unseren Modellhelden mit einer Erinnerung aus – ideal für den Anfang. Lass jedes Ereignis für immer in seinem Gedächtnis eingraviert sein und die Stimmung beeinflussen, entweder verbessern oder verschlechtern. Dies ist das Bild, das wir bekommen können, wenn wir das Schicksal unseres Helden zehn Jahre lang beobachten (Abb. 6.4). Das aktuelle „Glücksniveau“wird durch die Summe der Beiträge aller vorangegangenen Ereignisse berechnet. Positive Ereignisse erhöhen diesen Betrag, negative verringern ihn.
Nun, wir sehen schon eine Art Stimmungswechsel, aber das Bild ist nicht besonders erfreulich geworden. Unser Held fiel nach einer Reihe von Stimmungsschwankungen in eine tiefe Depression. Es ist ein Jammer. Versuchen wir, noch ein paar weitere Schicksale zu generieren (Abb. 6.5). Alle durchlaufen eine Reihe heller und dunkler Streifen, verzetteln sich jedoch lange Zeit entweder in hoffnungsloser Melancholie oder in transzendentalem Glück. Das passiert natürlich, aber das ist eindeutig nicht normal.
Der Wert der Entspannung
Wir haben unsere Modellierungsschicksale in einem sehr bemerkenswerten Prozess beschrieben. Es wird als eindimensionaler Random Walk bezeichnet und weist eine Reihe ungewöhnlicher Eigenschaften auf, darunter Selbstähnlichkeit, dh das Fehlen einer charakteristischen Zeitskala. Mit einer unbegrenzten Zeit kann ein Random Walk Sie unbegrenzt weit bringen. Darüber hinaus wird es Ihnen definitiv jede vorgegebene Entfernung vom Anfangswert nehmen! Unabhängig davon, wie gut Ihre Angelegenheiten laufen, werden sie, wenn sie zufälligen Schwankungen unterliegen, definitiv auf Null rollen und sinken - es ist nur eine Frage der Zeit! Stimmt, wenn wir von erheblichen Abweichungen sprechen, dann sehr lange. Es kann gezeigt werden, dass in dem von uns betrachteten Prozess die erwartete Abweichung vom Anfangszustand proportional zur Quadratwurzel der Zeit ist. Dies bedeutet, dass die erwartete Zeit, während der ein von Null abweichendes System wieder auf Null zurückkehrt, proportional zum Quadrat der anfänglichen Abweichung ist.
Denken Sie daran, wie die Katze Matroskin in dem berühmten Cartoon "Urlaub in Prostokvashino" sagte: "Ich war schon glücklich, und jetzt werde ich doppelt so glücklich." Weil ich zwei Kühe habe!“Somit ist davon auszugehen, dass die Geburt eines Kalbes (das Erscheinen einer zweiten Kuh) Matroskins Glück um das Vierfache verlängert.
Dennoch ist ein perfektes emotionales Gedächtnis nicht sehr gut. Unsere Helden vergessen nichts und behalten alles sorgfältig in Erinnerung, selbst die ältesten Ereignisse! Ihre Stimmung im Alter ist geprägt von der Trauer über ein kaputtes Spielzeug in der Kindheit oder der Freude über einen Kuss in der Jugend. Darüber hinaus sind alle nachfolgenden Küsse und Spielzeuge für sie von gleicher Bedeutung. Wir müssen diese armen Kerle retten. Emotionen lassen mit der Zeit nach, Trauer stumpft ab, Freude leider auch. Das Vergessen ist ähnlich wie das Abkühlen, Diffusion oder Verlangsamen in einer viskosen Flüssigkeit, daher ist es sinnvoll, es auf diese Weise zu modellieren. Diese Ereignisse beziehen sich auf die Entspannungsprozesse, über die wir am Ende von Kapitel 1 gesprochen haben. Schenken wir auch unseren Helden die Fähigkeit zur Entspannung!
Das entspannende System kehrt in den Gleichgewichtszustand zurück, und je schneller, desto größer die Abweichung vom Gleichgewicht. Diese Eigenschaft kann durch geometrische Progression oder Exponentialgesetz modelliert werden. Wir führen einen neuen Parameter in unser Modell ein – die Vergessensrate μ. Es kann in Form der Zeit (in den Zählungen unseres Modells) ausgedrückt werden, während der das Emotionsniveau deutlich genug abnimmt. Bei μ = 1/60 wird sich der emotionale Fußabdruck des Ereignisses beispielsweise in zwei Monaten um eine Größenordnung verringern. Und jetzt ist das Leben auf freundschaftliche Weise "gestreift" geworden (Abb. 6.6)!
Durch Variation des "Grades der Vergesslichkeit" können wir mehr oder weniger emotional ausgeglichene Versuchspersonen erhalten. Es scheint, dass wir die Quelle des zebraähnlichen Musters gefunden haben! Dies sind erstens Random Walks, die dazu neigen, in alle Richtungen zu kriechen; zweitens die heilende Vergesslichkeit, die die Stimmung wieder normalisiert. Das Ergebnis ist eine wellenförmig mäandernde* Stimmung.
* Ein Mäander ist in der Mathematik eine geschlossene Kurve ohne Selbstschnittpunkte, die eine Gerade mehrmals schneidet. Ca. Hrsg.
Untersuchen wir die Eigenschaften der von uns erhaltenen "synthetischen" Alltagsstreifen. Lassen Sie uns ein Histogramm erstellen, das die Verteilung ihrer Dauer für ein langes Leben (oder viele normale) mit den Parametern λ = 1/7, μ = 1/60 zeigt (Abb. 6.7).
Das erste, was Ihnen ins Auge fällt, ist, dass das Verteilungsmaximum (Modus) nahe Null liegt. Dies bedeutet, dass die Zeiten des Glücks und des Unglücks meistens sehr kurz sind, aber es gibt auch Zeiten, die länger als ein Jahr sind. Im Durchschnitt beträgt ihre Dauer 33 Tage mit einer Standardabweichung von 36 Tagen. Diese Verteilung ist nahezu exponentiell (tatsächlich wird sie durch eine allgemeinere Gammaverteilung mit Parametern, die sie näher an die Exponentialfunktion heranbringen, gut beschrieben). Die exponentielle Verteilung der Streak-Dauer im Leben wiederum bedeutet, dass Stimmungsschwankungen als Poisson-Stream betrachtet werden können – eine Kette unabhängiger zufälliger Ereignisse, die keine bestimmte Häufigkeit haben, aber mit einer bestimmten bekannten Intensität auftreten. Im betrachteten Beispiel ändern sich beispielsweise dunkle und helle Streifen alle 33 Tage mit der Intensität, aber viel häufiger werden im Leben kurze Perioden beobachtet: Die Hälfte davon ist nicht länger als zehn Tage.
Bei fehlendem „Gedächtnis“(für μ = 0) ist die Verteilung nicht mehr exponentiell abnehmend und wird durch die Yule-Verteilung beschrieben, die durch eine Potenzverteilung (Pareto-Verteilung) für die Mäanderdauer T angenähert werden kann (Abb. 6.8).
Statistiker sagen, dass solche Verteilungen einen starken Schwanz haben, was sehr große Abweichungen vom Mittelwert sehr wahrscheinlich macht. Wir beobachteten sie in Form langer "Immersionen" in einer bestimmten Stimmung. Die resultierende Verteilung hat eine ungewöhnliche und seltsame Eigenschaft: weder der Mittelwert (mathematischer Erwartungswert) noch die Standardabweichung sind dafür definiert. Im vorigen Kapitel haben wir bereits erwähnt, dass dies beispielsweise bei der Cauchy-Verteilung der Fall ist. Der Punkt ist, dass alle entsprechenden Integrale für die Yule-Verteilung divergieren. Diesbezüglich hört man, dass der Durchschnittswert in diesem Fall unendlich ist, aber dem ist nicht so. Sehen Sie, was passiert, wenn Sie versuchen, die erwartete Mäanderdauer eines Random Walks zu berechnen (Abbildung 6.9).
Riesige Sprünge aus dem schweren Schwanz schlagen ab und zu den Mittelwert, und die Reihenfolge der Mittelwertbildung konvergiert an keiner Grenze. Der Mittelwert ist keineswegs unendlich, aber das Integral konvergiert nicht und es ist unmöglich, über einen bestimmten Wert zu sprechen. Es ist die Unmöglichkeit, den Mittelwert für die Mäanderdauer zu berechnen, die die Selbstähnlichkeitseigenschaft eines Random Walks widerspiegelt, oder das Fehlen seiner eigenen Zeitskala.
Die Anpassungsfähigkeit an alltägliche Probleme haben wir mit Hilfe von Entspannung modelliert – Abschwächung von Gefühlsausbrüchen. Sie können diesen Prozess anders interpretieren – als Anpassungsfähigkeit eines Menschen an die Lebensumstände. Bei der Verarbeitung von verrauschten Signalen oder Sequenzen wird häufig die Methode des gleitenden Mittelwerts verwendet, um das Nutzsignal zu glätten und zu isolieren, wobei zu jedem Zeitpunkt nicht das Signal selbst, sondern der über einen bestimmten Zeitraum gemittelte Wert berücksichtigt wird. Dadurch wird Rauschen eliminiert und man bekommt eine Vorstellung von den langfristigen Trends im Signal. Indem wir diese Mittelwertbildung auf alltägliche Probleme anwenden, können wir die menschliche Anpassungsfähigkeit modellieren. Die Menschen verlieben sich und finden auch in Kriegen einen Grund zur Freude, und das Leben der reichen Penner ist nicht wolkenlos. Die lokale Vorstellung von der Norm (der übliche Zustand), von der die Stimmung in die eine oder andere Richtung abweicht, wird verschoben. Betrachtet man den Unterschied zwischen der Emotionssequenz und der geglätteten Hintergrundlinie, erhalten wir das gleiche Streifenmuster wie beim Vorgängermodell mit den gleichen statistischen Eigenschaften. Dies ist nicht verwunderlich, da sie sich konzeptionell praktisch nicht unterscheiden und ein System mit Relaxation beschreiben (Abb. 6.10).
Welche Schlüsse lassen sich aus unserer frivolen Forschung ziehen? Eine Reihe von hellen und dunklen Streifen im Leben ist keine Illusion, sie existieren tatsächlich. Aber es gibt keine besonderen Muster in ihnen. Meist sind sie kurz, aber auch langwierig. Es hängt alles von der Leichtigkeit des Charakters und der Fähigkeit ab, die Vergangenheit loszulassen. Wenn Ereignisse selten auftreten, wird das Leben außerdem zu einer grauen Reihe von Erinnerungen, die in der Vergangenheit verschwinden. Es liegt also in unserem Interesse, uns daran zu erinnern, was wir erlebt haben, und in unserer Macht, dafür zu sorgen, dass das Leben nicht zu einem zufälligen Wandern wird. Wir können dafür sorgen, dass es immer mehr gute Events gibt, auch wenn sie unbedeutend sind.
Ein Skiausflug, ein aufrichtiges Lächeln eines Passanten, eine Eintrittskarte für ein Konzert, eine Tasse heiße Schokolade an einem kalten Tag - all dies trägt dazu bei, einen positiven Trend zu schaffen und den Lichtblick im Leben zu verlängern. Es stimmt, die unvermeidlichen traurigen Ereignisse werden die Stimmung definitiv ändern. Aber machen Sie Ihr Glück nicht dafür verantwortlich. Das ist keine Vergeltung für ihn und nicht der böse Blick. Diese Eigenschaft entspannender Systeme ist die Neigung, unter einem stochastischen äußeren Einfluss zu schwingen.
