Wissenschaftler aus China untersuchten die Eigenschaften des Quantentransports in photonischen Fraktalgittern in Form eines Dreiecks, eines Teppichs und eines doppelten Sierpinski-Teppichs: Im Gegensatz zu regulären Strukturen wurde in Fraktalen ein anomaler Transportmodus beobachtet, der nur durch die gebrochene Dimension des Fraktales gekennzeichnet ist, und der Punkt des Übergangs in den anomalen Modus hing von der Geometrie des Fraktals ab … Der Artikel wurde in Nature Photonics veröffentlicht, ein Vorabdruck der Arbeit ist auf der Website arXiv.org veröffentlicht.
Fraktale - wahrscheinlich einige der spektakulärsten mathematischen Objekte - haben vor nicht allzu langer Zeit dank der farbenfrohen Visualisierungen von Benoit Mandelbrot ihre Popularität erlangt. Neben Formen, die sich in kleineren Maßstäben reproduzieren, haben Fraktale jedoch noch eine weitere herausragende Eigenschaft - sie haben eine gebrochene Hausdorff-Dimension (im Folgenden gleich der fraktalen Dimension) oder die Hausdorff-Dimension kann die topologische übersteigen. Zum Beispiel hat die Cantor-Menge eine Hausdorff-Dimension von 0,6309 …, die kleiner ist als die Dimension einer geraden Linie, und die Abmessungen des Dreiecks und des Sierpinski-Teppichs sind 1, 58 bzw. 1, 89. das ist eine Kreuzung zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Objekten. Im Fall der Koch-Kurve beträgt die fraktale Dimension 1,098, während die topologische Dimension 1 beträgt.
Solche ungewöhnlichen Dimensionsmerkmale von Fraktalen konnten die Aufmerksamkeit der Physiker auf sich ziehen. Seit der Gründung der fraktalen Geometrie wurden viele Studien zum klassischen Transport (oder Diffusion) von Partikeln in Strukturen fraktioneller Dimensionen durchgeführt. So wurde in der Arbeit von Sasha Alexander und Raymond Orbach eine Theorie aufgestellt, nach der der Diffusionsfluss in Fraktalen durch das Verhältnis der fraktalen Dimension zur sogenannten Spektraldimension bestimmt wird, die auch die geometrischen Eigenschaften der fraktal. Die Theorie hat sowohl Befürworter als auch Gegner gefunden, aber trotz der Meinungsverschiedenheiten bestreitet niemand in der wissenschaftlichen Gemeinschaft die Tatsache, dass die Verbreitung in Fraktalen anomal ist.
Trotz zahlreicher experimenteller Arbeiten zum Quantentransport in regelmäßigen und unregelmäßigen Gittern sowie zahlreicher theoretischer Studien zum Quantentransport in gebrochenen Dimensionen gab es bis vor kurzem keine einzige experimentelle Studie über die Eigenschaften des Quantentransports in Fraktalen. Wissenschaftler haben bereits fraktale Nanostrukturen aus Molekülen, photorefraktiven Kristallen und einzelnen Atomen implementiert (im letzteren Fall haben sie sogar bewiesen, dass Elektronen in einer fraktalen Struktur in einem ungeraden Raum leben), aber keine dieser Implementierungen ermöglicht die Messung ihrer dynamischen Eigenschaften. Ganz anders verhält es sich bei photonischen Gittern aus Glas mit einem Femtosekundenlaser, da sich deren Genauigkeit mit einer für Messungen bequemeren dreidimensionalen Struktur koppeln lässt.
Ein reguläres photonisches Gitter ist eine Menge geordneter Knoten, die während der Translation invariant sind und zwischen denen sich ein Photon nur durch seine nächsten Nachbarn bewegen kann. Um ein fraktales photonisches Gitter zu erhalten, zum Beispiel in Form des Sierpinski-Dreiecks der ersten Generation (G1), ist es notwendig, das dreieckige photonische Gitter durch Linien, die durch die Gitterknoten gehen, in vier Dreiecke zu teilen und das mittlere auszuschneiden, so dass drei weitere zusammen mit den Knoten auf den Schnittlinien. Höhere Generationen des Sierpinski-Dreiecks werden erzeugt, indem der Algorithmus sequentiell auf die verbleibenden Dreiecke angewendet wird (und nach einer unendlichen Anzahl von Iterationen wird ein reelles Fraktal mit Nullfläche und Bruchdimension erhalten). Auf die gleiche Weise kann ein Sierpinski-Teppich aus einem quadratischen photonischen Gitter hergestellt werden, sowie ein doppelter Sierpinski-Teppich, der die gleiche fraktale Dimension hat, sich aber vom ersten dadurch unterscheidet, dass beim Ausschneiden der Quadrate auch die Schnittlinien ENTFERNT. In solchen Gittern ist die Lichtbewegung bereits in Richtung fraktaler Hohlräume begrenzt, was den Photonentransport beeinträchtigt.
Konstruktion eines Dreiecks und eines Sierpinski-Teppichs sowie eines doppelten Sierpinski-Teppichs, Modelle der entsprechenden photonischen Gitter und der nächsten Knoten - Nachbarn in den entsprechenden Gittern
Eine Gruppe von Physikern aus China unter der Leitung von Xiao-Yun Xu vom Center for Integrated Quantum Information Technologies beobachtete die Ausbreitung eines Strahls horizontal polarisierten Lichts in den drei oben beschriebenen fraktalen photonischen Gittern unterschiedlicher Größe und dann, basierend auf der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Entwicklung des Systems, erhält die Abhängigkeit der quadratischen Abweichung und der Poya-Zahl (die Wahrscheinlichkeit, durch Random Walks zum Ausgangspunkt zurückzukehren) von der Weglänge der Photonen Z = vt, wobei v ist die Lichtgeschwindigkeit in Materie, t ist die Zeit. Zum Vergleich wurden ähnliche Prozesse und Abhängigkeiten auf einem Computer simuliert.
Im Fall des Sierpinski-Dreiecks der vierten Generation (G4) und des Sierpinski-Teppichs der dritten Generation (G3) beobachteten Wissenschaftler nach der Einführung von Photonen in eine der Ecken des Fraktals durchweg drei Transportarten. Bevor die Photonen die erste fraktale Leere erreichten (Z = 2,67 Millimeter für das Dreieck und Z = 3,85 für den Sierpinski-Teppich), die Abhängigkeit der quadratischen Mittelwertabweichung sowie der Poya-Zahl vom zurückgelegten Weg des Lichts, fiel mit der entsprechenden Abhängigkeit für unendliche reguläre Gitter (Normalmodus) zusammen, die in ihnen während des gesamten Transportprozesses beobachtet wird. Dann erfolgte ein Übergang in das anomale fraktale Regime (nach Z = 3,87 bzw. Z = 5,55 mm), bei dem die Standardabweichung mit der Zeit im Grad der fraktalen Dimension zunahm und die Abhängigkeit der Poya-Zahl wieder (nach dem Normalregime) erfuhr einen starken Anstieg und lag horizontal auf Ebene 1, was in regulären Gittern nicht beobachtet wird. Die Autoren bestätigten auch die Existenz einer Potenzgesetz-Abhängigkeit der quadratischen Mittelwertabweichung bei fraktalen Gittern von mehreren tausend Knoten, unabhängig von der Stelle, an der Photonen in das Gitter eingeworfen werden, was das theoretisch vorhergesagte Ergebnis bestätigt. Als die Photonen schließlich den äußersten Rand des Sierpinski-Dreiecks erreichten, begann sich die Abhängigkeit der mittleren quadratischen Abweichung der Photonen vom Potenzgesetz zu unterscheiden und zu schwanken. Letzteres Phänomen wurde beim Sierpinski-Teppich aufgrund der zu großen Gittergröße - etwa 700 Knoten - experimentell nicht beobachtet (wurde jedoch in der Simulation erhalten); aus dem gleichen Grund gibt es eine merkliche Abweichung der experimentellen Ergebnisse aus der Simulation.
Die im Experiment ermittelte (oben) und für das Sierpinski-Dreieck modellierte (unten) modellierte (unten) Abhängigkeit der quadratischen Mittelwertabweichung von der vom Licht zurückgelegten Wegstrecke
Abhängigkeit der Poya-Zahl vom zurückgelegten Lichtweg, experimentell ermittelt (links) und modelliert (rechts) für das Sierpinski-Dreieck
Die im Experiment ermittelte (oben) und für den Sierpinski-Teppich modellierte (unten) modellierte (unten) Abhängigkeit des quadratischen Mittelwerts von der zurückgelegten Strecke des Lichts
Abhängigkeit der Poya-Zahl von der Lichtwegstrecke, experimentell ermittelt (links) und modelliert (rechts) für einen Sierpinski-Teppich
Physiker haben auch Zufallswanderungen von Photonen in einem doppelten Sierpinski-Teppich beobachtet, der sich geometrisch vom Sierpinski-Teppich unterscheidet. Das Experiment zeigte das Fehlen einer normalen Phase in den Abhängigkeiten der quadratischen Mittelwertabweichung und der Poya-Zahl von der Weglänge - das fraktale Regime trat sofort in Kraft, da sich die erste fraktale Leere am Eingang der Photonik befindet Gitter. Auch nach der Sättigung wurden schwache Schwankungen beobachtet. Trotz der Tatsache, dass der doppelte Sierpinski-Teppich die fraktale Dimension des Sierpinski-Teppichs erbt, verändern seine geometrischen Eigenschaften die Dynamik des Quantentransports signifikant.
Die experimentell ermittelte (oben) und modellierte (unten) für einen doppelten Sierpinski-Teppich
Abhängigkeit der Poya-Zahl von der Lichtwegstrecke, experimentell ermittelt (links) und modelliert (rechts) für einen doppelten Sierpinski-Teppich
Die Tatsache, dass Fraktale in vielen Organismen (Verzweigungsbäumen, dem Kreislaufsystem und der menschlichen Lunge) vorkommen, könnte es ermöglichen, den Beitrag der Quantenmechanik zum Transport biologischer Systeme abzuschätzen. Genauer gesagt sehen die Autoren es möglich, die Forschung zum Quantentransport in Fraktalen anzuwenden, um die Theorie der orchestrierten objektiven Reduktion (Orch OR) zu testen, nach der das menschliche Bewusstsein in fraktalen Mikroröhren innerhalb von Neuronen entsteht.
Die Autoren hoffen, dass ihre Arbeit die Menschheit dem Verständnis des Quantentransports in ungeordneten Systemen und Organismen näher bringt und zur Entwicklung effizienterer Quantenalgorithmen beiträgt.
Wir haben bereits über fraktale Muster in den physiologischen Prozessen des menschlichen Körpers geschrieben und wie sich ihre Regelmäßigkeit auf die Lebenserwartung auswirkt.
