Mathematik ist das Herzstück von allem: Lotterien, Schokoladenkuchenrezepte und Auswahlmöglichkeiten. Wenn Sie sich der Mathematik zuwenden, können Sie herausfinden, warum der Todesstern eines der umstrittensten Konstrukte der Geschichte ist und begeisterte Spieler sehr selten im Lotto gewinnen. Im Buch „Mathematik mit dummen Zeichnungen. Ideen, die unsere Realität formen “(Verlag“Alpina Sachbuch “), ins Russische übersetzt von Alexey Ognev, erklärt Lehrer Ben Orlin komplexe und tiefgehende mathematische Ideen anhand von klaren Situationen und anschaulichen Beispielen sowie eigenen Illustrationen. N + 1 lädt seine Leser ein, einen Auszug zu lesen, der erklärt, warum der Kauf eines Lottoscheins fast immer einen Geldverlust und keinen Gewinn bedeutet.
Zehn Treffen in der Schlange für einen Lottoschein
Ah, der Lottoschein. Zertifikat des Optimismus, Treasury Bond des Ministeriums der Hoffnung. Warum sollten Sie sich an einem ramponierten Ein-Dollar-Schein mit gekräuselten Ecken festhalten, wenn Sie ihn gegen einen unvorhersehbaren Betrag von null bis 50 Millionen Dollar eintauschen können?
Wenn dies für Sie unattraktiv klingt, werden Sie und die gesamte Menschheit einfach gezwungen sein, Ihre Meinung zu ändern.
Ich muss zugeben, dass ich in meinem ganzen Leben weniger Geld für Lottoscheine ausgegeben habe (sieben Dollar) als für Croissants diesen Monat (frag nicht wie viel). Allerdings spielt jedes Jahr etwa die Hälfte der amerikanischen Erwachsenen Lotto. Dies ist nicht die Hälfte, an die Sie wahrscheinlich gedacht haben. Menschen mit einem Jahreseinkommen von 90.000 US-Dollar spielen häufiger als solche, die weniger als 36.000 US-Dollar verdienen. Diejenigen mit einem Bachelor-Abschluss spielen häufiger als diejenigen ohne einen. Das meiste Geld wird in meinem Heimatstaat Massachusetts für die Lotterie ausgegeben: eine Oase wohlhabender, hochgebildeter Liberaler, die durchschnittlich 800 Dollar pro Person pro Jahr für Lotterielose ausgeben. Lotto zu spielen, wie Fußball zu schauen, Nachbarn zu verklagen oder die Nationalhymne zu singen, ist ein amerikanischer Zeitvertreib und wird aus verschiedenen Gründen genossen.
Kommen Sie zu mir in die Warteschlange der Lottoscheine und wir erkunden die facettenreiche Attraktivität einer Investition mit Aussicht auf kommerziellen Erfolg.
Begeisterter Spieler
Suchen! Dies ist ein begeisterter Spieler, der Lotterielose aus dem gleichen Grund kauft, aus dem ich Croissants kaufe: nicht zum Essen, sondern zum Vergnügen.
Nehmen Sie an der beliebten Massachusetts $ 10.000 Cash Lottery teil. Ein genialer Name. Setzen Sie das Wort "Preis" und die Zahl 10.000 daneben, und Sie werden nie etwas falsch machen, egal was folgt. Außerdem sieht die Illustration auf einem Ein-Dollar-Lotterieschein aus wie ein Foto in einem Rave-Nachtclub, gedruckt auf einem Farbdrucker. Auf der Rückseite finden Sie die folgende komplexe Gewinnquotentabelle.
Wie viel wird Ihr Ticket gewinnen? Nun, wir wissen es noch nicht. Vielleicht 10.000 $; vielleicht fünf Dollar; vielleicht (ich meine "höchstwahrscheinlich") nichts.
Es wäre schön, die Gewinne mit einer einzigen Zahl zu schätzen. Stellen Sie sich vor, wir hätten nicht einen erbärmlichen Dollar ausgegeben, sondern eine Million Dollar. So entflohen wir der Hektik auf der Tanzfläche unserer Welt der Kürze in eine ruhige und friedliche Welt der Länge, in der jeder Sieg mit bekannter Wahrscheinlichkeit eintreten wird. Wenn wir eine Million Tickets kaufen, wird das Event mit einer Wahrscheinlichkeit von einer Million höchstwahrscheinlich einmal stattfinden *. Ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu 100.000 wird etwa zehnmal eintreten. Ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu 4 wird ungefähr 250.000 Mal (oder so ähnlich) auftreten.
* Aber mit ungefähr gleicher Wahrscheinlichkeit wird es gar nicht passieren – der Autor befindet sich noch immer im selben Bereich des triumphalen Zufalls, aus dem er entkommen wollte. - Ca. wissenschaftlich. Hrsg.
Aufgeregt stapeln wir unsere Lose und erwarten, dass sich unsere Gewinne ungefähr wie folgt verteilen:
Etwa 20% unserer Tickets wurden gewonnen. Alles in allem brachte uns die Millioneninvestition etwa 700.000 US-Dollar ein … was bedeutet, dass 300.000 US-Dollar aus unseren Taschen direkt an die Staatskasse von Massachusetts flossen.
Mit anderen Worten, jedes Dollar-Ticket brachte uns etwa 70 Cent ein.
Mathematiker nennen diese Zahl die erwartete Auszahlung ** aus dem Kauf eines Tickets. Ich verstehe, dass dies ein lustiger Begriff ist, weil Sie nicht erwarten, dass jedes Ticket 70 Cent bringt, genauso wie Sie nicht erwarten, dass jede Familie 1,8 Babys hat. Ich bevorzuge auf lange Sicht den Begriff Durchschnitt: Diesen Betrag bekommst du für jeden Schein, wenn du immer und immer wieder und immer wieder Lotto spielst …
** In diesem Fall handelt es sich um Glücksspiele, daher wird der Begriff Wahltheorie verwendet. In anderen Fällen wird "erwarteter Wert" normalerweise mit "erwarteter Wert" übersetzt. - Ca. pro.
Natürlich sind 30 Cent weniger als Sie ausgegeben haben, aber während die Unterhaltung nicht kostenlos ist, ist der Avid Gambler bereit, das Risiko einzugehen. Fragt man Amerikaner, warum sie Lotto spielen, wird die Hälfte sagen: Nicht um Geld, sondern zum Vergnügen.
Dies sind die begeisterten Spieler. Wenn der Staat daher eine neue Art von Lotterie einführt, steigt der Gesamtverkauf von Lotterielosen. Begeisterte Spieler sehen neue Lotterien nicht als alternative Anlagemöglichkeiten (was entsprechend zu einem Rückgang der Ticketverkäufe der alten Lotterie führen würde), sondern als neue Unterhaltung, so etwas wie frische Filme in einem Multiplex.
Was genau zieht einen begeisterten Spieler an? Siegesfreude, Adrenalinschub durch Unvorhersehbarkeit, angenehme Aufregung durch das Beobachten der Entwicklung der Ereignisse? Nun, es hängt vom Appetit des jeweiligen begeisterten Spielers ab.
Ich kann mit Sicherheit sagen, was er nicht anstrebt: finanzieller Gewinn. Auf lange Sicht bedeutet der Kauf eines Lottoscheins fast immer einen Geldverlust, keinen Gewinn.
Gebildeter Narr
Warten Sie … Fast immer? Wie ist es "fast"? Welche Regierung ist so dumm, Lottoscheine mit Verlust zu verkaufen?
Diese Ausnahmen ergeben sich aus der allgemeinen Regel, dass Lotterien mit großen Jackpots das Geschäft versüßen: Wenn diese Woche niemand den Jackpot gewinnt, werden sie in der nächsten Woche zum Preispool hinzugefügt, und der größte Gewinn wird schließlich steigen. Wird dies mehrmals wiederholt, beginnt die erwartete Auszahlung eines Tickets seinen Wert zu überschreiten. Zum Beispiel bot die UK National Lottery im Januar 2016 einen leckeren erwarteten Gewinn von über 4 £ zu einem Ticketpreis von 2 £. Ironischerweise generieren solche Systeme normalerweise mehr als genug Verkäufe, um die Kosten zu rechtfertigen.
In der Schlange für einen solchen Lottoschein treffen Sie auf einen sehr ungewöhnlichen Spieler - ein Leckerbissen für spielende Vogelbeobachter wie uns. Siehst du, wie er da drüben, hoch in den Ästen, die Federn schält? Dies ist der gebildete Narr - ein seltener Narr, der wie alle törichten Menschen den erwarteten Gewinn unter Verwendung der Früchte der Bildung interpretiert: Er verwechselt Teilwahrheit und universelle Weisheit.
Die erwartete Auszahlung destilliert die Vielseitigkeit des Kaufs eines Lotterieloses mit allen möglichen Preisen und Wahrscheinlichkeiten auf eine verallgemeinernde Zahl. Dies ist ein mächtiger Schritt. Es ist auch eine Vereinfachung.
Nehmen Sie zum Beispiel zwei Ein-Dollar-Tickets.
Geben Sie 10 Millionen US-Dollar für Tickets der Kategorie A aus und Sie erhalten 9 Millionen US-Dollar, was bedeutet, dass Ihr erwarteter Verlust für jedes Ticket 10 Cent beträgt. Gleichzeitig bringen Ihnen 10 Millionen US-Dollar, die für Tickets der Kategorie B ausgegeben werden, 11 Millionen US-Dollar und dieses Mal beträgt der erwartete Gewinn pro Ticket 10 Cent. Für diejenigen, die in die erwarteten Gewinne verliebt sind, scheint die zweite Kategorie von Tickets echtes Gold zu sein, und die erste ist ein Katzen-***.
*** „Katzengold“, „Gold für Narren“ist ein billiges Pyritmineral, das wie Gold aussieht. - Ca. pro.
Und doch … bringen mir 11 Millionen Dollar mehr Glück als 9 Millionen Dollar? Beide Beträge sind ein Vielfaches meines aktuellen Bankkontos. Der psychologische Unterschied ist vernachlässigbar. Warum also das eine als Betrug und das andere als sehr viel bezeichnen?
Um es einfach auszudrücken, stellen Sie sich vor, Bill Gates bietet Ihnen eine Wette an. Für einen Dollar haben Sie eine Chance von 1 zu 1.000.000.000, 10 Milliarden Dollar zu bekommen. Wenn Sie die zu erwartenden Gewinne berechnen, sabbern Sie: Eine Milliarde, die für Lotterielose ausgegeben wird, bringt Ihnen einen Gewinn von 10 Milliarden Dollar. Sie können nicht widerstehen!
Aber trotzdem, gebildeter Narr, bitte ich Sie, sich zurückzuhalten. Sie können sich dieses Spiel nicht leisten. Wenn Sie eine beeindruckende Million Dollar zusammenkratzen, hat Gates als reicher Mann eine Chance von 99%, eine Million reicher und Sie eine Million ärmer zu werden. Die erwartete Auszahlung ist der langfristige Durchschnitt, und wenn Sie auf den Vorschlag von Bill Gates reagieren, werden Ihnen Ihre Finanzen ausgehen, bevor diese lange Frist kommt.
Das gleiche gilt für die meisten Lotterien. Vielleicht verlieren Sie das Vertrauen in die erwarteten Gewinne völlig, nachdem Sie sich mit solchen abstrakten Möglichkeiten eines Ein-Dollar-Lotteriescheins vertraut gemacht haben:
Wenn Sie zehn Tickets kaufen, gewinnen Sie höchstwahrscheinlich einen Dollar. Im Allgemeinen schrecklich: 10 Cent für jedes Ticket. Wenn Sie 100 Tickets kaufen, gewinnen Sie höchstwahrscheinlich 20 US-Dollar. (Zehn kleinste Preise und ein 10-Dollar-Preis.) Etwas weniger schrecklich: 20 Cent pro Los.
Wenn Sie 1000 Tickets kaufen, gewinnen Sie höchstwahrscheinlich 300 US-Dollar. (Hundert Preise von je einem Dollar, zehn Preise von 10 $ und ein Preis von 100 $.) Sie erhalten 30 Cent pro Los.
Lass uns weitermachen. Je mehr Tickets Sie kaufen, desto mehr können Sie erwarten, zu gewinnen. Wenn Sie es irgendwie schaffen, eine Milliarde Tickets zu kaufen, gewinnen Sie wahrscheinlich 1, 2 US-Dollar für jedes Ticket. Eine Billiarde Tickets? Besser noch: $ 1,5 pro Ticket. Je mehr Tickets Sie haben, desto höher ist Ihr Gewinn aus jedem Ticket. Wenn Sie irgendwie Googol-Dollar investieren können, erhalten Sie im Gegenzug zehn Googols. Beliebige Einnahmen - Sie müssen nur genügend Tickets kaufen. Der erwartete Gewinn aus einem Ticket ist unendlich.
Aber selbst wenn Sie der Regierung hinter der Lotterie vertrauen, können Sie es sich nie leisten, genug Lose zu kaufen, um einen Blick auf endlose Gewinne zu erhaschen. Gehen Sie voran und verbringen Sie Ihr ganzes Leben damit, Tickets zu kaufen, Educated Fool. Insolvenz ist überwältigend.
Wir Menschen sind kurzlebige Wesen. Es ist besser, den durchschnittlichen unsterblichen auf lange Sicht zu verlassen.
